Swm y onglau triongl. Mae'r theorem ar swm o onglau triongl

Mae'r triongl yn polygon cael dair ochr (tair ongl). Mae'r rhan fwyaf aml, mae'r rhan ddynodi gan llythrennau bach priflythrennau, sy'n cynrychioli fertigau gyferbyn cyfatebol. Yn yr erthygl hon rydym yn edrych ar y mathau hyn o siapiau geometrig, theorem, sy'n diffinio beth yn hafal i swm onglau triongl.

Mathau onglau mwyaf

Mae'r mathau canlynol o polygon gyda thri fertigau:

• aciwt-ongl, lle mae'r holl onglau yn finiog;
• hirsgwar cael un ongl sgwâr, yr ochr ffurfio iddo, gyfeirio at y coesau, a'r ochr sy'n cael ei waredu gyferbyn â'r ongl sgwâr gelwir hypotenws;
• aflem pan fydd un ongl aflem yn ;
• isosgeles, y mae ei ddwy ochr yn gyfartal, ac fe'u gelwir yn ochrol, a'r trydydd - triongl gyda sylfaen;
• hafalochrog cael tair ochr cyfartal.

eiddo

Dyrannu tai sylfaenol sy'n nodweddiadol o bob math o triongl:

• gyferbyn yr ochr mwyaf yw bob amser yn fwy ongl, ac i'r gwrthwyneb;
• yn onglau hafal gyferbyn â-gyfartal fwyaf barti, ac i'r gwrthwyneb;
• mewn unrhyw triongl Mae dwy ongl lem;
• ongl allanol yn fwy nag unrhyw ongl mewnol hynny nad cyfagos;
• swm unrhyw ddwy ongl yn llai na 180 gradd bob amser;
• ongl allanol hafal i swm y ddau corneli arall, nad ydynt wedi'u mezhuyut gydag ef.

Mae'r theorem ar swm o onglau triongl

Y theorem yn nodi os ydych yn ychwanegu at yr holl y corneli y siâp geometrig, sydd wedi ei leoli yn y plân Ewclidaidd, yna bydd eu swm yn 180 gradd. Gadewch i ni geisio profi theorem hon.

Gadewch gennym triongl fympwyol â fertigau KMN. Ar draws bydd ben M cynnal yn gyfochrog uniongyrchol i'r llinell KN (a elwir hyd yn oed y llinell hon yn Euclid). Dylid nodi pwynt A fel bod y pwyntiau K ac A yn cael eu trefnu o wahanol ochr y llinell MN. Rydym yn cael yr un ongl AMS a MUF, sydd, fel y tu mewn, yn gorwedd crosswise i ffurfio croestorri MN ar y cyd â CN uniongyrchol ac MA, sy'n gyfochrog. O hyn, mae'n dilyn bod y swm onglau y triongl, a leolir yn y fertigau M a N yn hafal i faint yr ongl CMA. Mae'r tri ongl yn cynnwys swm sy'n hafal i swm onglau KMA a MCS. Gan fod y data yn onglau mewnol llinellau paralel ochrog cymharol CL a CM MA yn croestorri, mae eu swm yn 180 gradd. Mae hyn yn profi y theorem.

canlyniad

O'r uchod y theorem uchod yn awgrymu y ganlyneb ganlynol: Mae gan bob triongl dwy ongl lem. I brofi hyn, gadewch i ni dybio bod y ffigur geometregol dim ond un ongl aciwt. Gallwch hefyd gymryd yn ganiataol nad yw unrhyw un o'r corneli yn finiog. Yn yr achos hwn, rhaid iddo fod o leiaf ddwy ongl, maint sydd yn hafal i neu'n fwy na 90 gradd. Ond yna mae'r swm onglau yn fwy na 180 gradd. Ond ni all hyn fod, fel yn ôl y onglau swm theorem o triongl yn hafal i 180 ° - dim mwy, dim llai. Dyna beth oedd yn rhaid ei brofi.

Eiddo y tu allan corneli

Beth yw cyfanswm onglau triongl, sy'n allanol? Gall yr ateb i'r cwestiwn hwn ar gael drwy wneud cais un o ddwy ffordd. Y cyntaf yw bod angen i chi ddod o hyd i'r swm onglau, sy'n cael eu cymryd un ar bob fertig, hynny yw, tair ongl. Mae'r ail yn awgrymu bod angen i chi ddod o hyd i'r swm y chwe onglau yn y fertigau. I ddelio gyda dechrau'r ymgorfforiad cyntaf. Felly, y triongl yn cynnwys chwe corneli allanol - ar frig pob un o'r ddau. Mae gan bob pâr onglau cyfartal rhyngddynt eu hunain, gan eu bod yn fertigol:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Yn ogystal, mae'n hysbys bod y gornel allanol triongl yn hafal i'r swm y ddau tu, nad ydynt yn mezhuyutsya gydag ef. felly,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

O hyn, mae'n ymddangos y bydd y swm onglau allanol, sy'n cael eu cymryd o un i un yn agos bob fertig yn hafal i:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

O ystyried y ffaith bod swm onglau hafal 180 gradd, gellir dadlau bod ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Mae hyn yn golygu bod ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Os bydd yr ail opsiwn yn cael ei ddefnyddio, bydd y swm y chwe onglau yn gyfatebol fwy ddwywaith. Hy y swm onglau triongl bydd y tu allan fod yn:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triongl cywir

Beth yn hafal i swm onglau triongl ongl, yw'r ynys? Yr ateb yw, unwaith eto, o Theorem, sy'n datgan bod y onglau triongl yn adio i 180 gradd. Mae sain ein honiad (eiddo) fel a ganlyn: mewn triongl cywir onglau miniog yn adio i 90 gradd. Rydym yn profi ei gywirdeb. Bydded triongl a roddir KMN, sy'n ∟N = 90 °. Mae angen profi bod ∟K ∟M = + 90 °.

Felly, yn ôl y theorem ar y swm onglau ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Yn y cyflwr hwn dywedir fod ∟N = 90 °. Mae'n troi allan ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Dyna ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Dyna beth y dylem brofi.

Yn ychwanegol at yr eiddo uchod triongl ongl, gallwch ychwanegu hyn:

• onglau, sy'n gorwedd yn erbyn y coesau yn finiog;
• hypotenws y triongl yn fwy nag unrhyw un o'r coesau;
• swm y coesau yn fwy na'r hypotenws;
• coes y triongl, sy'n gorwedd gyferbyn â'r ongl o 30 gradd, hanner y hypotenws, sy'n hafal i ei hanner.

Fel eiddo arall y siâp geometrig y gellir ei wahaniaethu'n theorem Pythagorean. Mae'n dadlau bod mewn triongl gyda ongl o 90 gradd (hirsgwar), mae'r swm y sgwariau y coesau hafal i sgwâr y hypotenws.

Swm onglau triongl isosgeles

Yn gynharach dywedasom fod triongl isosgeles yw polygon gyda thri fertigau, sy'n cynnwys dwy ochr cyfartal. eiddo hwn yn hysbys ffigur geometregol: yr onglau yn ei waelod gyfartal. Gadewch i ni brofi hyn.

Cymerwch y triongl KMN, sydd yn isosgeles, SC - ei sylfaen. Mae'n ofynnol i ni brofi bod ∟K = ∟N. Felly, gadewch i ni dybio bod MA - KMN yw bisector ein triongl. ICA triongl gyda'r arwydd cyntaf o gydraddoldeb yw triongl MNA. Sef, drwy ddamcaniaeth o ystyried bod CM = NM, MA yn ochr cyffredin, ∟1 = ∟2, oherwydd MA - bisector hwn. Gan ddefnyddio'r cydraddoldeb y ddwy trionglau, gellid dadlau bod ∟K = ∟N. Felly, mae'r theorem profir.

Ond mae gennym ddiddordeb mewn, beth yw cyfanswm onglau triongl (isosgeles). Oherwydd yn y cyswllt hwn nid oes ganddo ei nodweddion, byddwn yn dechrau o'r theorem drafodwyd yn flaenorol. Hynny yw, gallwn ddweud bod ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, neu 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (fel ∟K = ∟N). Ni fydd hyn yn profi yr eiddo, gan fod y theorem ar y swm onglau triongl ei brofi gynharach.

Heblaw y priodweddau ystyriwyd y corneli triongl, mae yna hefyd ddatganiadau pwysig megis:

• mewn uchder triongl hafalochrog, a oedd wedi ei gostwng at y sylfaen, yn yr un pryd y bisector canolrif yr ongl sydd rhwng yr ochrau cyfartal a echelin cymesuredd ei sail;
• canolrif (bisector, uchder), sy'n cael eu cynnal i ochrau ffigwr geometrig, yn gyfartal.

triongl hafalochrog

Fe'i gelwir hefyd yn yr hawl, yw'r triongl, sy'n gyfartal i bob parti. Ac am hynny hefyd yn gyfartal ac onglau. Mae pob un ohonynt yn 60 gradd. Gadewch i ni brofi eiddo hwn.

Gadewch i ni dybio bod gennym triongl KMN. Rydym yn gwybod bod KM = HM = KH. Mae hyn yn golygu, yn ôl yn eiddo i'r onglau lleoli yn y ganolfan yn driongl hafalochrog ∟K = ∟M = ∟N. Ers, yn ôl y swm o onglau triongl theorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, yna x 3 = 180 ° ∟K neu ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Felly, mae'r honiad yn cael ei brofi. Fel y gwelir oddi wrth y dystiolaeth uchod yn seiliedig ar y theorem uchod, mae'r swm onglau triongl hafalochrog, gan fod y swm onglau unrhyw triongl arall yn 180 gradd. Nid yw eto yn profi theorem hyn yn angenrheidiol.

Mae rhai priodweddau nodweddiadol driongl hafalochrog o hyd:

• uchder canolrif bisector yn ffigwr geometrig union yr un fath, ac mae eu hyd yn cael ei gyfrifo fel (a x √3): 2;
• os yw polygon hwn circumscribing y cylch, yna bydd y radiws fod yn hafal i (a x √3): 3;
• os arysgrif mewn cylch triongl hafalochrog, byddai ei radiws yn (a x √3): 6;
• arwynebedd y ffigur geometrig yn cael ei gyfrifo gan y fformiwla: (a2 x √3): 4.

triongl aflem

Trwy ddiffiniad, triongl aflem sgwâr, un o'i gorneli yw rhwng 90-180 gradd. Ond o ystyried y ffaith bod y ddwy ongl arall y siâp geometrig miniog, gellir casglu nad ydynt yn fwy na 90 gradd. Felly, mae'r swm onglau o theorem triongl gweithio wrth gyfrifo swm y onglau mewn triongl aflem. Felly, gallwn ddweud yn ddiogel, yn seiliedig ar y theorem uchod bod swm onglau aflem triongl yn 180 gradd. Unwaith eto, nid oes angen theorem yma i ail-brawf.