Rheol Cramer a'i gais

rheol Cramer - yn un o'r union ddulliau ar gyfer datrys systemau o hafaliadau algebraidd llinol (Slough). Ei gywirdeb oherwydd y defnydd o benderfynyddion y matrics system, yn ogystal â rhai o'r cyfyngiadau a osodir yn y prawf y theorem.

Mae system o hafaliadau algebraidd llinol gyda chyfernodau sy'n perthyn i, er enghraifft, mae lluosogrwydd R - nifer go iawn o anhysbys x1, x2, ..., xn yn gasgliad o ymadroddion

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi gyda ff = 1, 2, ..., m, (1)

lle aij, bi - rhifau real. Gelwir pob un o'r ymadroddion hyn yn hafaliad llinol, aij - cyfernodau o'r anhysbys, bi - cyfernodau annibynnol o hafaliadau.

ateb o (1) y cyfeirir ati fector n-dimensiwn x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), lle amnewid i mewn i'r system ar gyfer x1 anhysbys, x2, ..., xn, pob un o'r llinellau yn y system yn dod yn hafaliad gorau .

Yr enw ar y system yn gyson os oes ganddo o leiaf un ateb, ac yn anghyson, os yw'n cyd-fynd â datrysiad set y set wag.

Rhaid cofio, er mwyn dod o hyd i atebion i systemau o hafaliadau llinol gan ddefnyddio'r dull o Cramer, systemau matrics i fod yn sgwâr, a oedd yn y bôn yn golygu yr un nifer o ffactorau anhysbys a hafaliadau yn y system.

Felly, i ddefnyddio'r dull Cramer, rhaid i chi o leiaf yn gwybod beth mae'r Matrics yn system o hafaliadau algebraidd llinol, ac mae'n cael ei gyhoeddi. Ac yn ail, er mwyn deall yr hyn a elwir y penderfynydd y matrics a'i sgiliau ei hun o gyfrifiannu.

Gadewch i ni dybio bod y wybodaeth hon rydych yn meddu. Wonderful! Yna rhaid i chi jyst cof fformiwlâu pennu dull Kramer. Er mwyn symleiddio'r gof defnyddio'r nodiant canlynol:

• Det - y prif benderfynydd o'r matrics y system;

• DETI - yw'r penderfynydd o'r matrics a geir o'r matrics sylfaenol y system drwy ddisodli i-fed golofn y matrics i fector colofn y mae ei elfennau'n ochrau cywir o hafaliadau algebraidd llinol;

• n - y nifer o ffactorau anhysbys a hafaliadau yn y system.

Yna Cramer yn rheol gyfrifiannu i-fed xi gydran (i = 1, .. n) n-dimensiwn fector x gellir ei ysgrifennu fel

xi = DETI / Ditectif, (2).

Yn yr achos hwn, Ditectif llym wahanol i sero.

Mae unigryw y datrysiad o'r system pan gaiff ei darparu ar y cyd gan gyflwr anghydraddoldeb o brif benderfynydd y system i sero. Fel arall, os yw'r swm o (xi), sgwâr, yn llym yn gadarnhaol, yna SLAE matrics sgwâr yn anymarferol. Gall hyn ddigwydd yn enwedig pan fydd o leiaf un o nonzero DETI.

Enghraifft 1. Er mwyn datrys y system LAU tri dimensiwn gan ddefnyddio fformiwla Cramer yn.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Penderfyniad. Rydym yn ysgrifennu i lawr y matrics y llinell system drwy linell, lle Ai - yw'r rhes i-fed o'r matrics.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Colofn cyfernodau rhad ac am ddim b = (31 Hydref 29).

Y brif system yn y Ditectif benderfynydd
Ditectif = a11 a22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A31 a22 - a11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12-12 + 2 - 10 = -27.

I gyfrifo'r permutation det1 ddefnyddio a11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. yna,
det1 = b1 a22 A33 + A12 A23 A31 + b3 b2 A32 - A13 a22 b3 - b1 A32 A23 - A33 A12 b2 = ... = -81.

Yn yr un modd, i gyfrifo det2 defnydd amnewid A12 = b1, a22 = b2, A32 = b3, ac, yn unol â hynny, i gyfrifo det3 - a13 = b1, A23 = b2, A33 = b3.
Yna gallwch wirio bod det2 = -108, a det3 = - 135.
Yn ôl y fformiwlâu Cramer ddod o hyd i x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Ateb: x ° = (3,4,5).

Dibynnu ar gymhwysedd y rheol hon, gall y dull o Kramer systemau o hafaliadau llinol datrys yn cael eu defnyddio yn anuniongyrchol, er enghraifft, i ymchwilio i'r system ar y nifer posibl o atebion yn dibynnu ar werth paramedr k.

Enghraifft 2. Penderfynu ar ba werthoedd y paramedr k anghydraddoldeb | kx - y - 4 | + | x + KY +4 | <= 0 yn union un ateb.

Penderfyniad.
Gall hyn anghydraddoldeb, gan y diffiniad o swyddogaeth modiwl yn cael ei berfformio yn unig os yw'r ddau ymadroddion yn sero ar yr un pryd. Felly, mae hyn yn broblem yn cael ei ostwng i ddod o hyd i'r ateb hafaliadau algebraidd llinol

kx - y = 4,
x + KY = -4.

Yr ateb i'r system hon dim ond os yw'n brif benderfynydd y
Ditectif = k ^ {2} + 1 yn nonzero. Mae'n amlwg bod yr amod hwn yn fodlon ar gyfer pob gwerth gwirioneddol y paramedr k.

Ateb: ar gyfer pob gwerth gwirioneddol y paramedr k.

Gall Amcanion y math hwn hefyd yn cael ei leihau llawer o broblemau ymarferol ym maes mathemateg, ffiseg neu gemeg.