Hafaliad y plân: sut i wneud? Mathau hafaliadau awyren

Gall y gofod awyren yn cael eu diffinio mewn gwahanol ffyrdd (un dot a fector, fector a'r ddau bwynt, tri phwynt, ac ati). Gyda hyn mewn golwg, gall yr hafaliad awyren wedi gwahanol fathau. Hefyd o dan amodau penodol, gall awyren fod yn baralel, perpendicwlar, croestorri, ac ati Ar hyn a bydd yn siarad yn yr erthygl hon. Byddwn yn dysgu i wneud y hafaliad cyffredinol y plân ac nid yn unig.

Mae ffurf normal o'r hafaliad

Gadewch i ni dybio R yw'r gofod _3, sydd â hirsgwar cydlynu'r system XYZ. Rydym yn diffinio α fector, a fydd yn cael ei ryddhau o'r man cychwyn O. Trwy ddiwedd y α fector tynnu awyren P sy'n berpendicwlar iddo.

Dynodi P ar fympwyol bwynt Q = (x, y, z). Mae fector radiws y pwynt Q llythyr arwydd t. Mae hyd y fector hafal α p = IαI a Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Mae'r fector uned, sy'n cael ei gyfeirio yn y cyfeiriad fel α fector. α, β a γ - yn onglau sy'n cael eu ffurfio rhwng y fector a'r cyfarwyddiadau cadarnhaol Ʋ bwyeill gofod x, y, z yn y drefn honno. Mae'r rhagamcaniad o bwynt ar fector QεP Ʋ yn gysonyn sy'n hafal i'r p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Mae'r hafaliad uchod yn ystyrlon pan p = 0. Yr unig awyren n yn yr achos hwn, byddai croesi pwynt O (α = 0), sef y tarddiad, ac Ʋ uned fector, rhyddhau o'r pwynt O yn berpendicwlar i P, er bod ei gyfeiriad, sy'n golygu bod y Ʋ fector benderfynir hyd at yr arwydd. hafaliad blaenorol yw ein awyren P, wedi'i fynegi ar ffurf fector. Ond o ystyried ei gyfesurynnau yw:

P yn fwy na neu'n hafal i 0. Rydym wedi dod o hyd i'r hafaliad awyren ar ffurf arferol.

Yr hafaliad cyffredinol

Os yw'r hafaliad yn y cyfesurynnau lluosi unrhyw rif sydd ddim yn hafal i sero, rydym yn cael yr hafaliad sy'n cyfateb i'r hyn sy'n diffinio'r iawn awyren. Bydd yn cael y ffurf ganlynol:

Yma, A, B, C - yw'r nifer o yr un pryd yn wahanol i sero. Gelwir y hafaliad yn hafaliad y ffurf gyffredinol yr awyren.

Mae'r hafaliadau o'r awyrennau. achosion arbennig

Gall y hafaliad yn gyffredinol yn cael ei addasu gydag amodau ychwanegol. Ystyriwch rai ohonynt.

Tybiwch fod y cyfernod A yw 0. Mae hyn yn dangos bod yr awyren yn gyfochrog â'r Ychen echelin a bennwyd ymlaen llaw. Yn yr achos hwn, ar ffurf yr hafaliad yn newid: Wu + Cz + D = 0.

Yn yr un modd, bydd ar ffurf hafaliad ac yn amrywio gyda'r amodau a ganlyn:

• Yn gyntaf, os B = 0, yr hafaliad newidiadau Axe + Cz + D = 0, a fyddai'n dangos y parallelism i'r echelin Oy.
• Yn ail, os C = 0, yr hafaliad yn cael ei drawsnewid i mewn i Axe + By + D = 0, hynny yw am baralel i'r echelin a bennwyd ymlaen llaw Oz.
• Yn drydydd, os D = 0, bydd yr hafaliad yn ymddangos fel Axe + By + Cz = 0, a fyddai'n golygu bod yr awyren croestorri O (tarddiad).
• Yn bedwerydd, os A = B = 0, yr hafaliad newidiadau Cz + D = 0, a fydd yn profi i parallelism Oxy.
• Pumed, os B = C = 0, yr hafaliad yn dod yn Axe + D = 0, sy'n golygu bod yr awyren yn gyfochrog â Oyz.
• Yn chweched, os A = C = 0, yr hafaliad ar ffurf Wu + D = 0, hy, yn adrodd i'r Oxz parallelism.

Ffurf yr hafaliad mewn rhannau

Yn yr achos lle rhifau A, B, C, D wahanol i sero, ar ffurf hafaliad (0) fod fel a ganlyn:

x / a + y / b + z / c = 1,

wherein = -D / A, b = -D / B, d = -D / C.

Rydym yn derbyn o ganlyniad hafaliad y plân mewn darnau. Dylid nodi y bydd awyren hon croestorri echelin-x yn y pwynt gyda gyfesurynnau (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), a Oz - (0,0, au).

O ystyried yr hafaliad x / a + y / b + z / c = 1, nid yw'n anodd gweld yr awyren lleoliad gymharu â system a bennwyd ymlaen llaw cydlynu.

Gyfesurynnau'r fector arferol

Mae gan y n fector normal i'r awyren P gyfesurynnau sy'n cyfernodau o'r hafaliad cyffredinol yr awyren, hy n (A, B, C).

Er mwyn penderfynu cyfesurynnau'r n arferol, mae'n ddigon i wybod hafaliad cyffredinol a roddwyd awyren.

Wrth ddefnyddio'r hafaliad yn yr adran sydd â'r ffurf x / a + y / b + z / c = 1, fel yn achos yr hafaliad cyffredinol, gallwn ysgrifennu gyfesurynnau unrhyw un o fector arferol o awyren a roddwyd: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Dylid nodi bod y fector arferol o helpu i ddatrys problemau amrywiol. Y problemau mwyaf cyffredin yn cynnwys mewn awyrennau perpendicwlar neu gyfochrog brawf, y dasg o ddod o hyd onglau rhwng y awyrennau neu'r onglau rhwng y awyrennau a llinellau syth.

Teipiwch yn ôl yr hafaliad plân a gyfesurynnau'r pwynt fector arferol

Mae n nonzero fector, berpendicwlar i'r awyren a roddir, a elwir yn arferol (normal) i awyren a bennwyd ymlaen llaw.

Tybiwch fod yn y gofod gydlynu (a hirsgwar system cydlynu) Oxyz osod:

• pwynt Mₒ gyda gyfesurynnau (hₒ, uₒ, zₒ);
• sero fector n = A * i B + * + C * j k.

Mae angen i chi wneud hafaliad y plân sy'n pasio drwy bwynt Mₒ berpendicwlar i'r n arferol.

Yn y lle rydym yn dewis unrhyw bwynt mympwyol ac dynodi M (x, y, z). Gadewch i'r fector radiws pob M pwynt (x, y, z) yn r = x * i + radiws fector o Mₒ bwynt z * k y * j +, a (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * ff + uₒ * j + k * zₒ. Bydd y pwynt M perthyn i awyren a roddir, os yw'r MₒM fector yn berpendicwlar i'r fector n. Rydym yn ysgrifennu cyflwr orthogonality defnyddio'r cynnyrch sgalar:

[MₒM, n] = 0.

Ers MₒM = r-rₒ, bydd yr hafaliad fector y awyren yn edrych fel hyn:

[R - rₒ, n] = 0.

Gall hyn hafaliad hefyd siâp arall. At y diben hwn, mae'r nodweddion y cynnyrch sgalar, ac yn trosi ochr chwith yr hafaliad. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Os [rₒ, n] dynodi fel s, rydym yn cael yr hafaliad canlynol: [r, n] - a = 0 neu [r, n] = s, sy'n mynegi y chysondeb y rhagamcanion ar y fector arferol y radiws-fectorau o'r bwynt penodol sy'n perthyn awyren.

Nawr gallwch gael y cydlynu cofnodi math awyren ein hafaliad fector [r - rₒ, n] = 0. Ers r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, a n = A * i B + * j + C * k, rydym wedi:

Mae'n ymddangos bod gennym yr hafaliad yn cael ei ffurfio awyren pasio trwy'r pwynt berpendicwlar i'r n arferol:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Teipiwch yn ôl yr hafaliad plân a chyfesurynnau ddau bwynt o'r collinear awyren fector

Rydym yn diffinio ddau bwynt mympwyol M '(x', y ', z') a M "(x", y ", z"), yn ogystal â'r fector (a ', yn ", a ‴).

Nawr gallwn ysgrifennu hafaliad a bennwyd ymlaen llaw awyren sy'n mynd trwy'r M pwynt presennol a M ", ac mae pob pwynt gyda'r M cyfesurynnau (x, y, z) gyfochrog fector a roddir.

Felly fectorau M'M x = {x ', y-y; zz'} a M "M = {x" -x ', y' y '; z "-z'} fod yn cymhlan gyda'r fector a = (a ', yn ", a ‴), sy'n golygu bod (M'M M" M, a) = 0.

Felly, bydd ein hafaliad awyren yn y gofod yn edrych fel hyn:

Math o hafaliad awyren, gan groesi tri phwynt

Lets 'ddeud mae gennym dri phwynt: (x', y ', z'), (x ', y', z '), (x ‴ Wedi ‴, z ‴), nad ydynt yn perthyn i'r un llinell. Mae'n angenrheidiol i ysgrifennu hafaliad y plân sy'n mynd drwy'r tri phwynt penodol. damcaniaeth geometreg yn dadlau bod y math hwn o awyren yn bodoli, dim ond un a dim ond. Ers awyren hwn yn croestorri'r pwynt (x ', y', z '), ei ffurf hafaliad fyddai:

Yma, A, B, ac C yn wahanol i sero ar yr un pryd. Hefyd rhoddwyd awyren croestorri ddau bwynt mwy (x ", y", z ") a (x ‴, y ‴, z ‴). Yn y cyswllt hwn dylid cynnal y math hwn o amodau:

Nawr gallwn greu system unffurf o hafaliadau (llinol) gyda anhysbys u, v, w:

Yn ein hachos ni x, y neu z sefyll bwynt mympwyol sy'n bodloni hafaliad (1). Ystyried hafaliad (1) a system o hafaliadau (2) a (3) y system o hafaliadau a nodir yn y ffigur uchod, mae'r fector bodloni N (A, B, C) sy'n nontrivial. Mae'n oherwydd bod y penderfynydd y system yn sero.

Hafaliad (1) ein bod wedi cael, mae hyn yn hafaliad y plân. 3 phwynt oedd mewn gwirionedd yn mynd, ac mae'n hawdd i wirio. Er mwyn gwneud hyn, rydym yn ehangu y penderfynydd gan yr elfennau yn y rhes gyntaf. O'r eiddo presennol benderfynydd dilyn bod ein awyren ar yr un pryd yn croestorri'r tri phwynt a bennwyd ymlaen llaw yn wreiddiol (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Felly, fe benderfynon i dasg o'n blaenau.

ongl Dihedral rhwng y awyrennau

ongl Dihedral yn siâp geometrig gofodol a ffurfiwyd gan ddau hanner-awyrennau sy'n deillio o linell syth. Mewn geiriau eraill, yn rhan o'r lle sydd wedi ei chyfyngu i'r hanner-awyrennau.

Tybiwch mae gennym ddwy awyren gyda'r hafaliadau canlynol:

Rydym yn gwybod bod y fector N = (A, B, C) a N¹ = (A¹, H¹, S¹) yn ôl awyrennau a bennwyd ymlaen llaw yn berpendicwlar. Yn hyn o beth, yr ongl rhwng φ fectorau N a N¹ ongl gyfartal (dihedral), sydd wedi ei leoli rhwng awyrennau hyn. Mae'r cynnyrch sgalar cael ei roi gan:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

yn union oherwydd

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Mae'n ddigon i ystyried hynny 0≤φ≤π.

A dweud y gwir dau awyrennau sy'n croestorri, ffurf dau ongl (dihedral): φ ₁ a _{2 φ.} Mae eu swm yn hafal i π (φ ₁ + φ ₂ = π). Fel ar gyfer eu cosines, eu gwerthoedd absoliwt yn gyfartal, ond maent yn arwyddion gwahanol, hynny yw, cos φ ₁ = -cos φ _2. Os yn yr hafaliad (0) yn cael ei ddisodli gan A, B ac C o -A, -B a -C yn y drefn honno, yr hafaliad, rydym yn cael, yn penderfynu yr un awyren, yr unig ongl φ mewn φ cos hafaliad = NN ¹ / | N || N ¹ | Bydd yn cael ei disodli gan π-φ.

Hafaliad y plân perpendicwlar

O'r enw berpendicwlar awyren, rhwng y mae'r ongl yn 90 gradd. Gan ddefnyddio'r deunydd a gyflwynir uchod, gallwn ddod o hyd i'r hafaliad o awyren berpendicwlar i'r llall. Tybiwch gennym ddau awyrennau: Ax + Erbyn + Cz + D = 0, ac + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Gallwn ddweud eu bod yn orthogonal os = cos 0. Mae hyn yn golygu bod NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Hafaliad awyren cyfochrog

Roedd yn cyfeirio at ddau awyrennau cyfochrog sy'n cynnwys unrhyw bwyntiau yn gyffredin.

Mae cyflwr o awyrennau cyfochrog (eu hafaliadau yr un fath ag yn y paragraff blaenorol) yw bod y fectorau N a'r N¹, sy'n berpendicwlar iddynt, collinear. Mae hyn yn golygu bod yr amodau canlynol yn cael eu bodloni cymesuredd:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Os bydd y termau cyfrannol yn cael eu hehangu - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

mae hyn yn dangos bod yr awyren data o'r un peth. Mae hyn yn golygu bod hafaliad Bwyell + By + Cz + D = 0 a + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 disgrifio un awyren.

Mae'r pellter o bwynt i awyren

Tybiwch fod gennym P awyren, sy'n cael ei roi gan (0). Mae'n angenrheidiol i ddod o hyd i'r pellter o'r pwynt gyda gyfesurynnau (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Angen i chi ddod i'r hafaliad yn y golwg awyren II arferol i'w wneud yn:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Yn yr achos hwn, ρ (x, y, z) yw'r fector radiws ein Q pwynt, a leolir ar n p - n yw hyd y perpendicwlar, a gafodd ei ryddhau o'r pwynt sero, v - yw'r fector uned, sy'n cael ei drefnu yn y cyfeiriad a.

Y gwahaniaeth ρ-ρº radiws fector o Q bwynt = (x, y, z), yn perthyn i n a radiws fector pwynt roddir Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) yn fector o'r fath, mae'r gwerth absoliwt y rhagamcaniad o'r rhain ar v hafal i'r pellter d, sy'n angenrheidiol i ddod o hyd o Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) i P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ond

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Felly, mae'n troi allan,

d = | (ρ ^0, v) t |.

Nawr mae'n amlwg bod i gyfrifo'r pellter d o ₀ i Q awyren P, mae angen i ddefnyddio hafaliad barn awyren arferol, y symudiad i'r chwith o'r p, a'r lle olaf o x, y, z yn lle (hₒ, uₒ, zₒ).

Felly, rydym yn dod o hyd i'r gwerth absoliwt y mynegiant o ganlyniad bod angen d.

Gan ddefnyddio'r paramedrau iaith, rydym yn cael yr amlwg:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Os bydd y Q pwynt a nodir ₀ ar yr ochr arall y plân P fel y tarddiad, yna rhwng y fector ρ-ρ ⁰ a v yn ongl aflem, fel hyn:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -P> 0.

Yn yr achos pan fydd y Q pwynt ₀ ar y cyd â'r tarddiad lleoli ar yr un ochr i'r U, mae'r ongl lem yn cael ei greu, hynny yw:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Y canlyniad yw bod yn yr achos cyn (ρ ^0, v)> p, yn yr ail (ρ ^0, v)

Ac yn ei hafaliad awyren tangiad

Ynghylch yr awyren i'r wyneb yn y man Mº tangency - awyren sy'n cynnwys yr holl tangiad posibl i'r gromlin dynnu trwy y pwynt ar yr wyneb.

Gyda'r ffurflen wyneb y hafaliad F (x, y, z) = 0 yn yr hafaliad y tangiad Mº pwynt awyren tangiad (hº, uº, zº) yn:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Os yw arwyneb wedi ei osod z benodol = f (x, y), yna yr awyren tangiad cael ei ddisgrifio gan yr hafaliad:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Y groesffordd dau awyrennau

Yn y gofod tri-dimensiwn yn system cydlynu (hirsgwar) Oxyz, o ystyried dau awyrennau P 'a P' sy'n gorgyffwrdd ac nid ydynt yn cyd-daro. Ers unrhyw awyren, sydd mewn hirsgwar system gydlynu a ddiffinnir gan yr hafaliad cyffredinol, rydym yn cymryd yn ganiataol bod n 'ac n "yn cael eu diffinio gan y hafaliadau A'x + V'u S'z + + D' = 0 a A" + B x '+ y gyda "z + D" = 0. Yn yr achos hwn mae gennym n normal '(A', B ', C') o'r awyren P 'a'r n normal "(A", B ", C") yr awyren P'. Gan nad yw ein awyren yn gyfochrog ac nid ydynt yn cyd-daro, yna ni fectorau hyn yn cael eu collinear. Gan ddefnyddio iaith fathemateg, mae gennym y gall y cyflwr hwn yn cael ei ysgrifennu fel: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * Yn ", λ * C"), λεR. Gadewch y llinell syth sy'n gorwedd ar groesffordd P 'a P "Bydd, yn cael eu dynodi gan y llythyren yn, yn yr achos hwn a = P' ∩ P".

a - linell sy'n cynnwys lluosogrwydd o bwyntiau (cyffredin) awyrennau P 'a P ". Mae hyn yn golygu bod y cyfesurynnau unrhyw bwynt perthyn i'r llinell yn, mae'n rhaid bodloni'r hafaliad A'x + V'u S'z + + D '= 0 a A "x + B' + C y" z + D "= 0 ar yr un pryd. Mae hyn yn golygu y bydd y gyfesurynnau'r pwynt fod yn ateb penodol o'r hafaliadau canlynol:

Y canlyniad yw y bydd yr ateb (cyffredinol) y system hon o hafaliadau pennu gyfesurynnau pob un o'r pwyntiau ar y llinell a fydd yn gweithredu fel y pwynt croestoriad P 'a P ", a phenderfynu linell mewn system gydlynu Oxyz (hirsgwar) gofod.