Fourier trawsnewid. Fourier cyflym trawsnewid. Fourier trawsnewid Arwahanol

trawsnewid Fourier - trawsnewid, cysylltu swyddogaeth benodol o newidyn go iawn. Mae'r llawdriniaeth yn perfformio bob tro yr ydym yn canfod synau gwahanol. Clust yn cynhyrchu awtomatig "cyfrifiad", sy'n cyflawni ein ymwybyddiaeth y gall dim ond ar ôl yr arholiad yr adran mathemateg uwch. clyw organ mewn trawsnewid dynol yn adeiladu, lle y sain (cynnig dirgrynol confensiynol o ronynnau mewn cyfrwng elastig, sy'n propagate ar ffurf tonnau yn y tymor canolig solid, hylif neu nwyol) yn cael ei ddarparu mewn ystod o werthoedd yn olynol o lefel cyfaint o arlliwiau o uchderau amrywiol. Ar ôl hyn, mae'r ymennydd yn troi'r wybodaeth yn holl sain cyfarwydd.

Mathemategol Fourier trawsnewid

Trosi tonnau sain neu brosesau dirgryniad arall (trwy allyrru golau a llanw môr ac i gylchoedd serol neu solar) yn cael ei berfformio a thrwy gyfrwng dulliau mathemategol. Felly, gan ddefnyddio'r technegau hyn, y swyddogaethau a gellir ei ehangu drwy gyflwyno prosesau dirgrynol set o gydrannau sinwsoidaidd, hy cromliniau tonnog sy'n mynd o leiafswm i uchafswm ac yna eto i isafswm, fel y don y môr. trawsnewid Fourier - swyddogaeth trawsnewid sy'n disgrifio'r cyfnod neu osgled pob sinusoid cyfateb i amledd penodol. Cam yn fan cychwyn y gromlin, ac osgled - ei uchder.

Fourier trawsnewid (enghreifftiau yn cael eu dangos yn y llun) yn arf pwerus iawn, sy'n cael ei ddefnyddio mewn gwahanol feysydd o wyddoniaeth. Mewn rhai achosion, mae'n cael ei ddefnyddio fel ateb hafaliadau yn hytrach cymhleth sy'n disgrifio'r prosesau dynamig sy'n digwydd o dan ddylanwad golau, gwres neu ynni trydanol. Mewn achosion eraill, mae'n eich galluogi i ddiffinio cydrannau rheolaidd yn tonffurfiau cymhleth, oherwydd gall hyn fod yn wir i ddehongli gwahanol arsylwadau arbrofol mewn cemeg, meddygaeth a seryddiaeth.

gwybodaeth hanesyddol

Y person cyntaf i wneud cais y dull hwn oedd y mathemategydd Ffrengig Zhan Batist Fure. Addasu, a enwyd ar ôl hynny ar ei ôl ef, yn cael ei ddefnyddio yn wreiddiol i ddisgrifio'r mecanwaith dargludiad gwres. Fourier ei fywyd oedolyn gyfan cymryd rhan mewn astudio priodweddau y gwres. Gwnaeth gyfraniad enfawr i'r ddamcaniaeth mathemategol y penderfyniad o wreiddiau'r hafaliadau algebraidd. Fourier yn athro o ddadansoddiad yn yr Ecole Polytechnique, Ysgrifennydd y Sefydliad Eifftoleg, roedd y gwasanaeth yn imperial, a achosodd cyffro ar adeg adeiladu'r ffordd i Turin (o dan ei arweiniad ei draenio o fwy na 80,000 cilomedr sgwâr o corsydd malaria). Fodd bynnag, nid yw pob gweithredaeth oedd hyn yn atal y gwyddonydd sy'n ymwneud â dadansoddi mathemategol. Yn 1802 yr oedd yn deillio hafaliad sy'n disgrifio lledaenu gwres mewn solidau. Yn 1807, gwyddonydd darganfod dull ar gyfer datrys hafaliad hwn, a ddaeth yn adnabyddus fel "Fourier drawsnewid".

Dadansoddiad dargludedd thermol

Mae ymchwilwyr yn defnyddio dull mathemategol i ddisgrifio mecanwaith dargludiad gwres. Enghraifft cyfleus, wherein unrhyw anhawster yn cyfrifiannu yn lledaenu ynni thermol gan gylch haearn, un rhan ymgolli mewn tân. Er mwyn cynnal arbrofion Fourier rhan poeth coch y cylch a chladdu ef yn y tywod mân. Wedi hynny, mae'r mesuriadau tymheredd a gynhaliwyd ar ran arall ohono. I ddechrau, mae'r dosbarthu gwres yn afreolaidd: rhan o'r cylch - oer, a'r llall - poeth, rhwng y parthau gall arsylwi graddiant tymheredd miniog. Fodd bynnag, yn ystod y dosbarthu gwres ar draws y wyneb metel, mae'n dod yn fwy unffurf. Felly, yn fuan, mae'r broses hon ar ffurf ton sin. graff cyntaf yn raddol yn cynyddu ac mae hefyd yn gostwng yn esmwyth, yn gywir cyfreithiau amrywio'r cosin neu swyddogaeth sin. Wave yn raddol yn gyfartal ac o ganlyniad i'r tymheredd yn dod yn unffurf ar yr wyneb cyfan y cylch.

Mae awdur y dull hwn yn cymryd yn ganiataol bod y dosbarthiad cychwynnol yn eithaf afreolaidd gellir pydredig i mewn i nifer o donnau sin elfennol. Bydd gan bob un ohonynt gael ei chyfnod (safle cychwynnol) ac mae ei dymheredd uchaf. Felly pob newidiadau cydran o'r fath o leiafswm i uchafswm ac yn ôl i gwblhau'r chwyldro o amgylch yr amseroedd cyfanrif cylch. Cydran cael cyfnod a oedd yn galw y harmonig sylfaenol, a gwerth gyda dau neu fwy o gyfnodau - yr ail ac yn y blaen. Er enghraifft, un o swyddogaethau mathemategol sy'n disgrifio'r tymheredd uchaf, y cam neu safle o'r enw Fourier trawsnewid y ffwythiant dosraniad. Daeth Gwyddonydd elfen unigol sy'n anodd i'w ddisgrifiad mathemategol, ar gyfer offer hawdd i'w defnyddio - rhesi o sin a cosin, yn y swm o roi dosbarthiad cychwynnol.

Hanfod y dadansoddiad

Gwneud cais dadansoddiad hwn i addasu dosbarthu gwres ar y gwrthrych solet, cael siâp fforest gylchol, mathemategydd rhesymegol bod cyfnodau cynyddol o gydrannau sinwsoidaidd arwain at ei dampio gyflym. Gwelir hyn yn glir ar y prif a'r ail harmoneg. Mae'r tymheredd yn cyrraedd rownd derfynol ddwywaith y gwerthoedd uchaf ac isaf mewn bwlch sengl, ac yn y cyntaf - dim ond unwaith. Mae'n ymddangos bod y pellter a deithiwyd gan wres yn yr ail harmonig yn hanner y craidd. Yn ogystal, bydd y graddiant yr ail hanner hefyd fod yn fwy serth na'r cyntaf. Felly, gan fod fflwcs thermol yn fwy dwys yn pasio weddw ychydig iawn o bell, yna mae hyn yn cael ei damped harmonig bedair gwaith yn gyflymach na phrif, fel ffwythiant o amser. Yn y canlynol y broses yn hyd yn oed yn gynt. Credai Mathemategydd bod y dull hwn yn ein galluogi i gyfrifo broses o ddosbarthiad cychwynnol o dymheredd gydag amser.

gyfoedion Call

Fourier trawsnewid algorithm wedi dod yn her i'r sylfeini damcaniaethol mathemateg ar y pryd. Yn gynnar yn y bedwaredd ganrif ar bymtheg, nid yw'r rhan fwyaf o wyddonwyr blaenllaw, gan gynnwys Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre a Biot oedd yn derbyn ei honiad bod y tymheredd y dosbarthiad cychwynnol yn cael ei pydredig i mewn i gydrannau ar ffurf y don sylfaenol ac amlder uwch. Fodd bynnag, ni allai'r Academi y Gwyddorau anwybyddu'r canlyniadau a gafwyd mathemategydd, a dyfarnwyd iddo Wobr am y ddamcaniaeth dargludiad gwres y cyfreithiau, yn ogystal â chynnal ei gymharu â arbrofion corfforol. Yn y dull Fourier, y prif wrthwynebiad yw'r ffaith bod swyddogaeth amharhaol yn cael ei gynrychioli gan swm o sawl swyddogaeth sinwsoidaidd, sy'n ddi-dor. Wedi'r cyfan, maent yn disgrifio'r llinellau byrstio syth a chrwm. gwyddonydd Cyfoes erioed wedi dod ar eu traws sefyllfa o'r fath, pan fydd y swyddogaethau a ddisgrifiwyd ysbeidiol gan gyfuniad o parhaus, megis cwadratig, llinol, sin neu arddangoswr. Os bydd yn fathemategydd yn iawn yn ei honiadau, dylai'r swm o gyfres anfeidraidd o ffwythiannau trigonometrig yn cael ei gyfyngu i'r union cyflymder. Er hawliad o'r fath yn ymddangos yn hurt. Fodd bynnag, er gwaethaf yr amheuon rhai ymchwilwyr (ee Claude Navier, Sofi Zhermen) ehangu cwmpas y gwaith ymchwil ac a'u dug hwynt allan o'r dadansoddiad o dosbarthu gwres. Mae mathemateg, yn y cyfamser, yn parhau i ddioddef y cwestiwn a yw swm o sawl swyddogaeth sinwsoidaidd cael ei ostwng i union cynrychiolaeth byrstio.

Hanes 200 mlynedd

Mae'r ddamcaniaeth wedi datblygu dros ddwy ganrif, heddiw mae'n cael ei ffurfio o'r diwedd. Gyda chymorth y swyddogaethau gofodol neu amserol yn cael eu torri i mewn cydrannau sinwsoidaidd sydd â amledd, cyfnod a osgled. Mae'r trawsnewid yn cael ei sicrhau gan ddau dulliau mathemategol gwahanol. Y cyntaf ohonynt yn cael ei ddefnyddio yn yr achos pan fydd y ffynhonnell yn swyddogaeth barhaus, a'r ail - yn yr achos lle caiff ei gynrychioli gan luosogrwydd o newidiadau unigol ar wahân. Os yw'r ymadrodd yn cael ei sicrhau gan werthoedd, a ddiffinnir ar gyfnodau arwahanol, gellir ei rannu i nifer o arwahanol ymadroddion amleddau sinwsoidaidd - o'r isaf ac yna dyblu, treblu, ac yn y blaen uwchben y sylfaenol. Gelwir y swm yn y gyfres Fourier. Os bydd y mynegiant cychwynnol yn gosod gwerth pob rhif real, gellir ei dorri i lawr i sinwsoidaidd holl amleddau lluosog posibl. Fe'i gelwir yn Fourier annatod, ac mae'r penderfyniad yn awgrymu trawsnewid swyddogaeth hanfodol. Waeth beth fo'r dull ar gyfer cael trawsnewid, ar gyfer pob amledd Dylai nodi dau rif: osgled ac amledd. Caiff y gwerthoedd hyn eu mynegi fel un rhif cymhleth. Mynegiant newidynnau cymhleth theori ynghyd â thrawsnewid Fourier i berfformio cyfrifiadau caniatáu i'r dyluniad gwahanol gylchedau trydan, y dadansoddiad o dirgryniadau mecanyddol, yr astudiaeth o fecanwaith lluosogi tonnau ac un arall.

Fourier trawsnewid heddiw

Erbyn hyn, mae'r astudiaeth o'r broses hon yn y bôn boils i lawr i ddod o hyd i ddulliau effeithiol ar gyfer pontio o swyddogaeth i drosi yn ôl i'r meddwl. Gelwir hyn yn ateb yn y Fourier uniongyrchol a gwrthdro drawsnewid. Beth mae'n ei olygu? Er mwyn penderfynu ar y hanfodol a gwneud Fourier drawsnewid uniongyrchol, gallwch ddefnyddio dulliau mathemategol, ond gallwch ddadansoddol. Er gwaethaf y ffaith bod pan fyddant yn cael eu defnyddio yn ymarferol, mae rhai anawsterau, mae'r rhan fwyaf integrynnau eisoes wedi cael eu darganfod ac yn cofnodi yn llawlyfrau mathemategol. Gyda'r ymadroddion gall chymorth dulliau rhifiadol yn cael ei gyfrifo, siâp sydd wedi ei seilio ar y data arbrofol, swyddogaeth y mae ei integrynnau yn y tablau ar goll, ac maent yn anodd dychmygu mewn ffurf dadansoddol.

Cyn dyfodiad y cyfrifiadau peirianneg gyfrifiadurol trawsnewidiadau o'r fath wedi bod yn ddiflas iawn, maent yn ei gwneud yn ofynnol gweithredu â llaw o nifer fawr o weithrediadau rhifyddeg sy'n dibynnu ar y nifer o bwyntiau sy'n disgrifio y swyddogaeth tonnau. Er mwyn hwyluso'r setliad heddiw, mae rhaglenni arbennig, caniateir i weithredu newydd ddulliau dadansoddol. Felly, yn 1965, Dzheyms Kuli a Dzhon Tyuki greu meddalwedd a ddaeth yn adnabyddus fel "Fourier Transform Cyflym". Mae'n arbed amser y cyfrifiad drwy leihau nifer y lluosi yn y dadansoddiad y gromlin. "Fourier Transform Cyflym" Mae'r dull yn seiliedig ar rannu'r gromlin i mewn i nifer fawr o werthoedd sampl unffurf. Yn unol â hynny, mae nifer y lluosi yn cael ei leihau gan hanner ar yr un leihau'r nifer o bwyntiau.

Rhoi'r Fourier trawsnewid

Mae'r broses hon yn cael ei defnyddio mewn gwahanol feysydd: Mewn theori rhif, ffiseg, prosesu signal, cyfuniadeg, theori tebygolrwydd, cryptograffeg, ystadegau, eigioneg, opteg, acwsteg, ac geometries eraill. posibiliadau cyfoethog ar gyfer ei ddefnydd yn seiliedig ar nifer o nodweddion defnyddiol, a oedd yn cael eu galw'n "priodweddau trawsnewid Fourier." Gadewch i ni eu harchwilio.

1. Mae'r swyddogaeth trosi yn weithredwr llinol a normaleiddio cyfatebol yn unedol. Mae'r eiddo wedi ei adnabod fel y theorem Parseval, neu yn achos gyffredinol, mae'r theorem Plansherelja neu'r Pontrjagin dualism.

2. Mae'r trawsnewid yn gildroadwy. Ar ben hynny, y canlyniad gwrthwyneb yn siâp sylweddol debyg fel yn y uniongyrchol i'r afael.

3. Mae'r ymadroddion sylfaenol sinwsoidaidd yw eu swyddogaethau gwahaniaethol eu hunain. Mae hyn yn golygu bod cynrychiolaeth o'r fath yn newid hafaliadau llinol gyda chyfernodau cyson mewn algebraidd confensiynol.

4. Yn ôl y "convolution" theorem, y broses yn gwneud llawdriniaeth cymhleth mewn lluosi elfennol.

5. arwahanol Fourier Transform gellir cynllunio yn gyflym ar gyfrifiadur gan ddefnyddio "cyflym" dull.

Amrywiadau o'r Fourier trawsnewid

1. Mae'r rhan fwyaf aml, defnyddir y term i gyfeirio at drawsffurfiad parhaus, gan ddarparu unrhyw fynegiant quadratically integradwy fel swm o fynegiant esbonyddol cymhleth gyda amleddau a amplitudes onglog penodol. Mae gan y rhywogaeth nifer o wahanol ffurfiau, a allai fod yn wahanol cyfernodau cyson. Mae'r dull di-dor yn cynnwys tabl trosi, y gellir eu gweld mewn llawlyfrau mathemategol. Mae achos cyffredinol yw trosi ffracsiynol, lle gall y broses hon yn cael ei godi i bŵer go iawn a ddymunir.

2. Y dull parhaus yn cyffredinoliad o dechneg cynharach o gyfres Fourier diffinio ar gyfer unrhyw swyddogaethau cyfnodol neu ymadroddion, sy'n bodoli mewn ardal gyfyngedig ac yn eu cynrychioli fel cyfres o sinusoids.

3. arwahanol Fourier trawsnewid. Mae'r dull hwn yn cael ei ddefnyddio mewn cyfrifiadura ar gyfer cyfrifiant gwyddonol a phrosesu signal digidol. Cyflawni math hwn o gyfrifiad sydd ei angen i gael swyddogaeth o benderfynu ar set arwahanol o bwyntiau unigol, rhanbarth cyfnodol neu gyfyngedig yn lle integrynnau Fourier parhaus. trosi Signal yn yr achos hwn yn cael ei gynrychioli fel swm o sinusoids. Mae'r defnydd o "cyflym" dull yn caniatáu i'r defnydd o atebion digidol ar gyfer pob diben ymarferol.

4. Mae'r ffenestr Fourier trawsnewid yn farn gyffredinol o'r dull clasurol. Yn wahanol i atebion safonol pan fydd y sbectrwm signal yn cael ei ddefnyddio, sy'n cael ei gymryd yn yr ystod lawn o fodolaeth y newidyn hwn o ddiddordeb arbennig yma dim ond y dosbarthiad amledd lleol tra'n cynnal y newidyn gwreiddiol (amser).

5. Mae'r Fourier dau ddimensiwn drawsnewid. Defnyddir y dull hwn i weithio gyda rhesi dau ddimensiwn o ddata. Mewn achos o'r fath, yr addasiad yn cael ei berfformio mewn un cyfeiriad, ac yna - yn y llall.

casgliad

Heddiw, y dull Fourier wedi sefydlu ei hun yn y gwahanol feysydd o wyddoniaeth. Er enghraifft, yn 1962 agorodd siâp helics dwbl DNA gan ddefnyddio dadansoddiad Fourier ar y cyd â diffreithiant pelydr-X. grisialau diweddar yn canolbwyntio ar ffibrau DNA, gan arwain at ddelwedd a geir drwy diffreithiant, a gofnodwyd ar y ffilm. Rhoddodd Mae'r llun gwybodaeth am werth y osgled drwy ddefnyddio'r Fourier drawsnewid y strwythur grisial hwn. data Cam trwy gymharu'r cardiau diffreithiant DNA gyda chardiau sy'n cael eu cael yn y dadansoddiad o strwythurau cemegol tebyg. O ganlyniad, mae biolegwyr adfer strwythur grisial - y swyddogaeth wreiddiol.

Fourier trawsnewid yn chwarae rhan fawr yn yr astudiaeth o gofod allanol, ffiseg deunyddiau lled-ddargludyddion a plasma, acwsteg microdon, eigioneg, radar, seismoleg ac archwiliadau meddygol.