Pendil: cyfnod a chyflymiad o fformiwla

Mae'r system fecanyddol sy'n cynnwys pwynt perthnasol (y corff), sy'n hongian ar ffilament anestynadwy dibwysau (ei màs yn ddibwys o'i gymharu â bwysau'r corff) mewn maes disgyrchiant unffurf, a elwir yn y pendil mathemategol (enw arall - y osgiliadur). Mae mathau eraill o ddyfeisiau. Yn hytrach na ffilament gwialen dibwysau gellir eu defnyddio. Gall Pendulum datgelu yn glir hanfod llawer o ffenomenau diddorol. Pan dirgryniadau osgled bach o'i gynnig elwir yn harmonig.

Gwybodaeth gyffredinol am y system fecanyddol

Mae'r fformiwla y cyfnod osgiladiad y pendil yn bridio Huygens gwyddonydd Iseldiroedd (1629-1695 gg.). Mae hyn yn gyfoes o Isaac Newton yn hoff iawn o'r system fecanyddol. Yn 1656 fe greodd y wylio gyntaf gyda mecanwaith pendil. Maent yn mesur yr amser yn fanwl gywir eithafol ar gyfer yr adegau hynny. Mae'r ddyfais yn gam mawr yn natblygiad arbrofion corfforol a gweithgareddau ymarferol.

Os yw'r pendil mewn sefyllfa cydbwysedd (hongian yn fertigol), y grym disgyrchiant yn cael ei gydbwyso gan y llu tensiwn edafedd. pendil Fflat ar edafedd heb fod yn stretchable yn system gyda dwy radd o ryddid o gyfathrebu. Wrth newid dim ond un elfen o newid y nodweddion ei holl rannau. Er enghraifft, os edau yn cael ei ddisodli gan wialen, yna mae hyn system fecanyddol yn unig 1 gradd o ryddid. Beth, felly, mae'r priodweddau pendil fathemategol? Yn y system syml, o dan ddylanwad o perturbation cyfnodol, anhrefn yn ymddangos. Yn yr achos hwnnw, pan na fydd y pwynt atal yn symud, ac yn oscillates pendil mae safle cydbwysedd newydd. Os amrywiadau cyflym i fyny ac i lawr y system fecanyddol yn dod yn sefyllfa sefydlog "wyneb i waered." Mae ganddo hefyd ei enw. Fe'i gelwir yn Kapitza pendil.

Mae'r eiddo y pendil

Mae gan Pendulum eiddo diddorol iawn. Mae pob un ohonynt yn cael eu cefnogi gan ddeddfau ffisegol adnabyddus. Mae'r cyfnod o osgiliad y pendil unrhyw arall yn dibynnu ar amgylchiadau amrywiol megis maint a siâp y corff, y pellter rhwng y pwynt o atal dros dro ac y craidd disgyrchiant, dosbarthu pwysau o ran y pwynt hwn. Dyna pam y diffiniad o'r cyfnod hongian corff yn eithaf heriol. Yn llawer haws i gyfrifo cyfnod o pendil syml, mae'r fformiwla a roddir isod. O ganlyniad i'r arsylwi patrymau hyn y gellir eu gosod ar systemau mecanyddol tebyg:

• Os, tra'n cynnal yr un hyd y pendil, ei atal o amrywiaeth o lwythi, cyfnod yr osgiliad cael yr un, er y bydd eu pwysau yn amrywio'n fawr. O ganlyniad, nid yw cyfnod y pendil yn dibynnu ar bwysau'r llwyth.

• Os bydd y system yn dechrau i ostwng yn y pendil nid yn rhy fawr, ond yn wahanol onglau, bydd yn amrywio gyda'r un cyfnod, ond ar wahanol amplitudes. Er nad gwyriadau oddi wrth ganol cydbwysedd yn y bydd amrywiadau rhy fawr yn eu ffurf yn ddigon agos harmonig. Nid yw cyfnod o pendil o'r fath yn dibynnu ar y osgled dirgrynol. Gelwir eiddo hwn ar y system fecanyddol yn isochronism (mewn Groeg "Chronos" - amser "Izosov" - yn gyfartal).

Mae'r cyfnod o pendil syml

Mae'r ffigur hwn yn cynrychioli cyfnod naturiol osgiliad. Er gwaethaf y gwaith o lunio cymhleth, y broses ei hun yn syml iawn. Os yw hyd y edafedd mathemategol pendil L, a'r cyflymiad disgyrchiant g, y gwerth hwn yn gyfartal:

T = 2π√L / g

Nid yw cyfnod bach o osgiliadau naturiol mewn unrhyw ffordd yn dibynnu ar y màs y pendil a'r osgled oscillation. Yn yr achos hwn, fel pendil mathemategol yn symud gyda llai o hyd.

Osgiliadau o pendil fathemategol

pendil Mathemategol oscillates, y gellir eu disgrifio gan hafaliad differol syml:

x + ω2 sin x = 0,

lle mae x (t) - ffwythiant anhysbys (ongl hwn o gwyriad oddi wrth y sefyllfa isaf ecwilibriwm ar y pryd t, a fynegir mewn radianau); ω - cyson cadarnhaol sy'n cael ei bennu gan y paramedrau y pendil (ω = √g / L, lle mae g - cyflymiad disgyrchiant, a L - hyd y pendil syml (atal).

Hafaliad osgiliadau fach ger safle cydbwysedd (hafaliad harmonig) fel a ganlyn:

x + ω2 sin x = 0

cynnig osgiladu y pendil

Pendulum, sy'n gwneud osgiliadau bach, sinusoid symud. Ail hafaliad differol trefn bodloni'r holl ofynion a paramedrau symudiad o'r fath. I benderfynu ar y llwybr mae angen i chi osod y cyflymder a chyfesurynnau, a bennodd y cysonion annibynnol yn ddiweddarach:

x = A sin (θ ₀ + ωt),

lle mae θ ₀ - cyfnod cychwynnol, A - osgled oscillation, ω - amlder cylchol pennu o hafaliadau mudiant.

Pendulum (fformiwla ar gyfer amplitudes mawr)

Mae'r system hon yn fecanyddol, yn perfformio eu osgiliadau gyda osgled mawr, mae'n ddarostyngedig i gyfreithiau traffig yn fwy cymhleth. maent yn cael eu cyfrifo yn ôl y fformiwla ar gyfer pendil o'r fath:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

lle mae sn - sin Jacobi, a oedd am u <1 yn swyddogaeth cyfnodol, ac ar gyfer u fach, mae'n cyd-fynd â'r sin trigonometrig syml. Mae gwerth u ei bennu gan y mynegiad canlynol:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

lle ε = E / ML2 (ML2 - ynni y pendil).

Penderfynu cyfnod osgiladiad nonlinear o'r pendil gan y fformiwla ganlynol:

T = 2π / Ω,

lle Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptic annatod, π - 3,14.

symudiad pendil y separatrix

Roedd yn galw llwybr separatrix y system ddeinamig, lle mae gofod cam dau-ddimensiwn. Pendulum yn symud ymlaen heb fod yn dro i dro. Yn y pwynt anfeidrol yn hyn o bryd mae'n gostwng o'r safle uchaf eithafol tuag cyflymder sero, ac yna mae'n cael ennill raddol. Yn y diwedd stopio, gan ddychwelyd i'w safle gwreiddiol.

Os bydd y osgled oscillation y pendil yn mynd at y rhif pi, dywedir bod y cynnig yn y plân cam yn agos at y separatrix. Yn yr achos hwn, o dan y camau o lu gyrru cyfnodol fach o'r system fecanyddol arddangosion ymddygiad di-drefn.

Mewn achos o pendil syml o'r safle cydbwysedd gyda cp ongl digwydd grym ymylol Fτ = disgyrchiant pechod -mg φ. "Llai" arwydd yn golygu bod yr elfen ymylol cyfeirio i'r cyfeiriad arall o gyfeiriad gwyriad y pendil. Wrth gyfeirio drwy dadleoli pendil x hyd arc crwn gyda radiws L yn hafal i'w φ dadleoli onglog = x / L. Mae'r ail ddeddf Isaaka Nyutona, a gynlluniwyd ar gyfer amcanestyniad y fector cyflymu a chryfder yn rhoi gwerth a ddymunir:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Yn seiliedig ar y gymhareb hon, mae'n amlwg bod y pendil yn system aflinol, fel grym sy'n tueddu i ddychwelyd i'w safle cydbwysedd, nid yw bob amser yn gymesur â dadleoliad x, yn bechod x / L.

Dim ond pan fydd y pendil mathemategol yn perfformio dirgryniadau bach, mae'n osgiliadur harmonig. Mewn geiriau eraill, mae'n dod yn system fecanyddol gallu perfformio osgiliadau harmonig. Mae'r brasamcan yn ddilys am bron onglau 15-20 °. Nid yw pendil gyda amplitudes mawr yn gytûn.

cyfraith Newton i osgiliadau bach o pendil

Os bydd y system fecanyddol yn perfformio osgiliadau fach, bydd y gyfraith 2il Newton yn edrych fel hyn:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Ar y sail hon, gallwn ddod i'r casgliad bod y cyflymiad ymylol o pendil syml yn gymesur ei dadleoli gyda'r arwydd "minws". Mae hwn yn gyflwr lle mae'r system yn dod yn osgiliadur harmonig. Modiwl ffactor cymesuredd rhwng y dadleoli a chyflymiad hafal i sgwâr y amledd onglog:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Mae'r fformiwla hon yn unol ag amlder naturiol osgiliadau bach o'r math hwn o pendil. Ar y sail hon,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Cyfrifiadau yn seiliedig ar y gyfraith cadwraeth egni

Gall eiddo oscillating symudiadau pendil ei ddisgrifio gyda chymorth y gyfraith cadwraeth egni. Dylid cadw mewn cof bod yr egni potensial y pendil mewn maes disgyrchiant yw:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Llawn egni mecanyddol hafal potensial cinetig ac uchafswm: Epmax = Ekmsx = E

Ar ôl i chi wedi ysgrifennu y gyfraith cadwraeth egni, gan gymryd y deilliad yr ochrau chwith a dde o'r hafaliad:

Ep + Ek = Etholaeth

Ers y deilliad y cysonion yn hafal i 0, yna (Ep + Ek) '= 0. Mae deilliadol o'r swm yn hafal i'r swm y deilliadau:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

felly:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Yn seiliedig ar y fformiwla diwethaf, rydym yn dod o hyd: α = - g / L * x.

defnydd ymarferol o'r pendil fathemategol

Cyflymu o gwymp rhad ac am ddim yn amrywio gyda lledred, oherwydd dwysedd y crwst o amgylch y blaned heb fod yn union. Lle creigiau yn digwydd gyda dwysedd uwch, bydd yn ychydig yn uwch. Cyflymu o pendil mathemategol ei ddefnyddio yn aml ar gyfer archwilio. Yn ei helpu edrych ar gyfer gwahanol fwynau. Yn syml, cyfrif nifer o osgiliadau o pendil, mae'n bosibl canfod y glo neu fwyn yn y coluddion y Ddaear. Mae hyn oherwydd y ffaith bod yr adnoddau hyn yn cael dwysedd a phwysau o fwy na gorwedd o dan y creigiau rhydd.

pendil Mathemategol a ddefnyddir gan ysgolheigion blaenllaw megis Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Credai llawer ohonynt y gall y system fecanyddol yn dylanwadu ar y dynged a bywyd. Defnyddir Archimedes y pendil mathemategol gyda'i cyfrifiadau. Y dyddiau hyn, mae llawer o occultists a seicigion yn defnyddio'r system fecanyddol ar gyfer ei proffwydoliaethau gweithredu, neu chwilio am bobl ar goll.

Mae'r seryddwr Ffrengig enwog a gwyddonydd, Flammarion ar gyfer eu hymchwil defnyddio pendil mathemategol hefyd. Honnodd fod gyda ei gymorth roedd yn gallu rhagfynegi darganfod planed newydd, ymddangosiad y feteorynnau Tunguska, a digwyddiadau pwysig eraill. Yn ystod yr Ail Ryfel Byd yn yr Almaen (Berlin) yn gweithio fel sefydliad arbenigol y pendil. Y dyddiau hyn, nid yw ymchwil o'r fath ar gael Munich Sefydliad Parapsychology. Mae ei waith gyda'r pendil staff y sefydliad hwn a elwir yn "radiesteziey".