Sut i gyfrifo arwynebedd pyramid: y sylfaen, ochr a llawn?

Wrth baratoi ar gyfer yr arholiad mewn myfyrwyr mathemateg yn rhaid i systematize y wybodaeth o algebra a geometreg. Hoffwn cyfuno'r holl wybodaeth sy'n hysbys, fel sut i gyfrifo arwynebedd pyramid. Ar ben hynny, gan ddechrau o'r gwaelod ac ochr yn wynebu hyd nes yr arwynebedd cyfan. Os yr ochr yn wynebu'r sefyllfa yn glir, gan eu bod yn drionglau, y sylfaen bob amser yn wahanol.

Sut i fod pan oedd yr ardal o waelod y pyramid?

Gall fod yn eithaf unrhyw ffigur o triongl mympwyol i n-gon. Ac efallai y sylfaen hwn, ac eithrio y gwahaniaeth yn y nifer o onglau, yn ffigur gywir neu'n anghywir. Er budd myfyrwyr tasgau ar yr arholiad canfod swyddi yn unig â'r ffigurau cywir yn y gwaelod. Felly, byddwn ond yn siarad amdanynt.

triongl hafalochrog

Mae hynny'n hafalochrog. Un bod yr holl bartïon yn gyfartal ac yn cael eu dynodi gan y llythyren "a". Yn yr achos hwn, mae'r ardal gwaelod y pyramid yn cael ei gyfrifo gan y fformiwla:

S = (a ² * √3) / 4.

sgwâr

Mae'r fformiwla i gyfrifo ei ardal yw'r symlaf, yn "" - ochr unwaith eto:

A S = ^2.

Mympwyol rheolaidd n-gon

Ar ochr y polygon un dynodiad. Ar gyfer y nifer o onglau a ddefnyddir llythyr Lladin n.

S = (n * ²⁾ / (4 * TG (180º / n)) .

Sut i fynd i mewn i gyfrifo arwynebedd arwyneb ochrol ac yn llawn?

Gan fod y ffigur sylfaenol yn gywir, yna wynebau pob un o'r pyramid yn gyfartal. Pob un ohonynt yn triongl isosgeles, gan fod y ymylon ochr yn gyfartal. Yna, er mwyn cyfrifo arwynebedd ochr y pyramid angen fformiwla sy'n cynnwys y swm o monomials union yr un fath. Mae nifer o dermau yn cael ei bennu gan y swm o ochrau'r gwaelod.

Mae'r ardal o triongl isosgeles yn cael ei gyfrifo gan y fformiwla y mae hanner y cynnyrch sylfaenol yn cael ei luosi gan y uchder. Mae'r uchder yn y pyramid a elwir apothem. Mae ei dynodiad - "A". Mae'r fformiwla gyffredinol ar gyfer yr ardal yr arwyneb ochrol fel a ganlyn:

S = ½ P * A, lle mae P - perimedr y gwaelod y pyramid.

Mae yna adegau pan nad yw'n hysbys i'r ochr sylfaen, ond yr ymylon ochr yn (a) a fflat ongl ar frig (α). Yna, mae'n dibynnu defnyddio'r fformiwla ganlynol i gyfrifo arwynebedd ochrol y pyramid:

S = n / 2 i ² * α bechod.

Tasg № 1

Cyflwr. Darganfyddwch arwynebedd gyfan o'r pyramid, os yw ei sylfaen yn driongl hafalochrog gydag ochr o 4 cm ac mae gan y gwerth √3 cm apothem.

Penderfyniad. Dylai ddechrau gyda'r cyfrifo sylfaen perimedr. Gan fod hyn yn triongl rheolaidd, yna P apothem = 3 * 4 = 12 cm fod yn hysbys, gall un gyfrifo arwynebedd yr arwyneb ochrol cyfan :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^{cm2 unwaith.}

I gael y triongl sylfaen yw gwerth yr ardal (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Er mwyn penderfynu yr ardal gyfan ei angen i blygu'r ddau werth yn deillio: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Ateb. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Cyflwr. Mae pyramid quadrangular rheolaidd. Mae hyd y gwaelod yn hafal i 7 mm, ymyl ochrol - 16 mm. Mae angen i chi wybod ei arwynebedd.

Penderfyniad. Ers y polyhedron - hirsgwar ac yn gywir, yn ei ganolfan yn sgwâr. Clyw ardal sylfaen ac ochrau ochrol yn gallu cyfrif y pyramid sgwâr. Mae'r fformiwla ar gyfer y sgwâr yn cael ei roi uchod. Ac yr wyf yn gwybod yr holl wynebau ochr y triongl. Felly, gallwch ddefnyddio fformiwla Heron ar gyfer cyfrifo eu hardaloedd.

Mae'r cyfrifiadau cyntaf yn syml ac yn arwain at nifer hwn: 49 mm ^2. I gyfrifo'r ail gwerth angen semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Nawr gallwn cyfrifo arwynebedd triongl isosgeles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54,644 mm ^2. Mae pedwar trionglau, felly bydd angen i gael ei luosi 4 wrth gyfrifo niferoedd terfynol.

Enillwyd: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Ateb. 267.576 gwerth a ddymunir o ² mm.

Tasg № 3

Cyflwr. Ar pyramid quadrangular rheolaidd yn angenrheidiol i gyfrifo arwynebedd. Mae'n hysbys ochr y sgwâr - 6 cm ac uchder - 4 cm.

Penderfyniad. Y ffordd hawsaf i ddefnyddio fformiwla i'r cynnyrch y perimedr ac apothem. Mae gwerth cyntaf yn dod o hyd yn syml. Mae'r ail ychydig yn galetach.

Bydd rhaid i ni gofio y theorem Pythagorean ac ystyried triongl ongl. Mae'n cael ei ffurfio gan y uchder y pyramid a apothem, sef y hypotenws. Yr ail gymal yn hanner ar ochr y sgwâr, fel uchder polyhedron yn disgyn yn y canol ohono.

apothem Ffafriol (hypotenws triongl dde) yn hafal i √ (Mawrth ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Nawr mae'n bosibl cyfrifo gwerth a ddymunir: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Ateb. 96 cm ^2.

Problem № 4

Cyflwr. Dana pyramid chweonglog rheolaidd. Mae ochr ei sylfaen gyfartal i 22 mm, yr ymylon ochrol - 61 mm. Beth yw arwynebedd yr arwyneb ochrol polyhedron hwn?

Penderfyniad. Y rhesymeg ynddo yr un fath fel y disgrifir yn y №2 dasg. Dim ond y pyramid rhoddwyd yno i'r sgwâr ar y gwaelod, ac yn awr ei fod yn hecsagon.

Y cam cyntaf yn cael ei gyfrifo drwy ardal waelod y fformiwla uchod ^{(6 * 22 2) / (} 4 * TG (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Nawr mae angen i chi ddod o hyd i hanner perimedr triongl isosgeles, sydd yn wyneb ochr. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 yn parhau i fod ar fformiwla Heron i gyfrifo arwynebedd pob un o'r triongl, ac yna'n ei luosi chwe gwaith yn fwy ac yn yr un sy'n troi allan i'r sylfaen.

Cyfrifiadau fformiwla Heron yn: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 cm ^2. Mae'r cyfrifiadau a fydd yn darparu arwynebedd ochrol: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Rhaid aros i ychwanegu i fyny i gael gwybod y cyfan arwyneb: 5217,47≈5217 cm ^2.

Ateb. Tiroedd - 726√3 cm ^2, mae'r arwyneb ochr - 3960 cm ^2, yr ardal gyfan - 5217 cm ^2.